四：简单谐波运动的周期性和对称性

1。周期性：

简单的谐波运动是一种周期性的运动，而简单谐波运动的位移X，速度V，加速度A和外部力F则随时间定期变化。它的周期等于简单的谐波运动时期。

2。对称：

如图所示，对象在点A和B之间简单地和谐地移动，点O是平衡位置，OC = OD。

（1）时间对称性

①相同两个点之间来回传递的对象之间的时间相等，即tdb = tbd。

②物体相对于平衡位置对称地传递两个相等的距离长度的时间是相等的。在图中，tdb = tbd = tca = tac，tod = tdo = toc = tco。

（2）速度对称性

①穿过同一点（例如点D）的对象的速度两次在大小上等于，方向相反。

②当对象通过两个点对称点O（例如点C和D）对称时，其速度相等，其方向可能是相同的或相反的。

（3）位移对称性

①当对象穿过同一点（例如点C）时，位移是相同的。

②当对象穿过两个点O（例如点C和D）对称的两个点时，其位移的大小相等，方向相反。

类型1：一个小球在平衡位置在o点附近进行简单且和谐的运动。如果定时从点O开始，则球在3秒后首次通过点M，然后继续移动，然后在2秒后第二次通过M点；找到球执行简单谐波运动的可能周期。

<答案> 16s/3或16s

变异训练：弹簧振动器使用点O作为平衡位置，以执行简单和和谐的运动。当球经过点O时，它开始计数。首次需要0.3s才能达到M，然后在0.2s之后第二次通过点M。然后，第三次通过M点经过M点所需的时间可能是（AC）

A.1s/3

B.8S/15

C.1.4S

d.1.6s

类型2：如图所示，

粒子以简单的频谱移动，点0是平衡位置，并以相同速度的顺序穿过点m和n，持续1s。粒子穿过点n后，然后第二次穿过点n。粒子通过2s。该点的总距离为12厘米，振动周期和振幅为（b）

A.3s，6厘米

B.4s，6厘米

C.4S，9厘米

D.2S，8厘米

类型3：粒子执行简单而和谐的运动。从最大位移到0.3s，它首次达到一个点m，然后第二次到达0.2s，然后其振动频率为（d）

A.0.4 Hz

B.0.8 Hz

C.2.5 Hz。

D.1.25 Hz。

类型4：一个简单的谐波振荡器沿X轴振动，平衡位置位于坐标来源。振荡器目前的位移t = 0 = -0.1m; t = 4s/3 time x = 0.1m; t = 4S时间x = 0.1m; t = 4S时间x = 0.1m;该潜艇的幅度和周期可能是（ACD）

A0.1m，8s/3

B.0.1m，8s

C.0.2m。 8s/3

D.0.2m，8s

示例：弹簧振动器简单地沿X轴移动，平衡位置位于坐标的原点。 t = 0振动器的位移为-0.1 m; t = 1 s为0.1 m，然后

（a）如果振幅为0.1 m，则振荡器的周期可能为2s/3。

（b）如果振幅为0.1 m，则振荡器的周期可能为4S/5。

（c）如果振幅为0.2 m，则振荡器的周期可能为4 s。

（d）如果振幅为0.2 m，则振荡器的周期可能为6 s。

分析：分析弹簧振动器的XT图像。弹簧振动器振动的位移设置为x = asin（ωt+φ0）。如果振幅为0.2 m，当t = 0为t时，位移为-0.1 m，即-0.1 = 0.2sinφ0，此时的速度不是0，并且其振动方向可能远离平衡位置。振动图像如图1所示。振动方向也可能指向平衡位置，如图2所示。

图1 XT图像分析1

图2 XT图像分析2

对应于Q1点：

1 = t/2+nt（n∈N），

现在

t = 2/（2n+1），n = 0，tmax = 2s。

对应于Q2：

现在

。对应于Q3点：

现在

对应于Q4：

现在

如果幅度为0.1 m，而当t = 0为时刻，则位移为-0.1 m，速度为0；当t = 1 s时，位移为0.1 m，则有

1 = nt+t/2，

现在

t = 2/（2n+1）（n∈N），

可见的，

n = 0，tmax = 2s; n = 1，t = 2s/3

这个问题的选项（a）（d）是正确的。

示例：如图所示，

垂直灯弹簧的两端分别连接到A和B块。块A和B的重力为mg。块B放在固定在水平面上的压力传感器上。 A块在其初始位置处于平衡状态。 ，现在施加一个幅度f = mg的力量以向下按距离x以保持其静止，然后卸下力f。 ）

答：压力传感器的读数为零

B.压力传感器的读数为mg/2

C.压力传感器的读数为2mg

D.压力传感器的读数为mg

三：简单的谐波运动和循环运动

简单的谐波运动与均匀的圆形运动之间的关系。运动点P以A半径为A和圆的中心移动，角速度是由角度测量的起始边缘。

如果计时器穿过点D和时间t通过θ转动时的角度，则θ=ωt。

将点O作为原点，垂直建立坐标系统OX，然后X轴上的点P的投影为pointp₀，相对于原点，点p的位移为x，然后x = asin（ωt）

结论：弹簧振动器的振动可以被视为在弹簧轴上投射的运动，当点以简单光谱作为角速度的圆形频率移动时，并以振幅为圆的圆周运动在圆圈上进行恒定的圆周运动以及作为中心的平衡位置。

四：简单和和谐的运动的循环

简单的谐波运动时期取决于系统本身的特征。我们称其为系统的固有周期，相应的频率称为系统的固有频率。从上面的周期性公式来看，我们可以看到固有的时期和简单谐波运动的固有频率都与振幅无关。

示例：同学看到一只鸟落在分支上的P上。

分支在10秒内上下振动6次。鸟飞走后，他将50克的重量悬挂在P，发现分支在10秒内上下振动12次。在将50克重量更改为500g重量之后，他发现分支在15秒内上下振动6次。您估计鸟的质量最接近（）

A.50 g

B.200 g

C.500 g

D.550 g

五：单个摆的周期

单个摆循环的推导：

五：简单的谐波运动证明

一般而言，春季参与的振动很可能是简单的谐波运动。

有两种方法可以证明对象执行简单的谐波运动。

位移满足x = asin（ωt+φ）

从仅接触弹簧以压缩弹簧到最短（从压缩弹簧到最短到刚离开弹簧），球自由地掉落到垂直弹簧到垂直的弹簧。

在从点A点（实际接触弹簧）到点C（将弹簧压缩到最短）的过程中，球的速度首先增加然后降低，然后加速度首先减小，然后增加。速度在B点最大（力平衡）。 ，加速度为零；从C到A的球也是如此。

点B是平衡位置，球的运动是一种简单而和谐的运动。

速度（蓝色）和加速度（红色）如下图所示：

示例：一根均匀的木棍，横截面是S的横截面区域，垂直于水面上的L长度浮出水面。静止时，它浸入水中的零件长度为l₀。现在，将木棍稍微向上抬起，然后放开。尝试证明：放手后，木棍会做出简单而和谐的运动（忽略了水的阻力）。

示例：钓鱼可以培养自己的性格，并且在人们中非常受欢迎。如图所示，某个鱼漂浮的示意图

鱼漂浮物的上部可以被视为圆柱体。当鱼漂浮在略微打扰并上下振动时，渔夫发现，当鱼漂浮在向下移动时，气缸上的m点可以到达水面，当鱼漂浮在向上移动时，圆柱体上的n点可以暴露于水面。忽略防水性和水表面波动的影响，而鱼的振动是一种简单的和谐运动（）

A.鱼浮动振动过程中的机械能源

B.鱼漂浮物受到重力，浮力和恢复力

当CM点到达水面时，鱼浮子具有最大的动能

当DN点到达水面时，鱼浮子具有最大加速度

示例：如图所示，电荷量为4Q和-Q的小球A和B水平放置在光滑的绝缘杆上，并带有d的间距。如果带正电荷的小环C（图中未显示），则带电的物体A，B和C都可以视为点电荷。如果小环C携带的充电量为-Q，则将小环从平衡位置拉开，然后将小位移x（| x | = d），然后在休息中释放，并计算其所需的时间小环C返回到平衡位置。

理论和实验都可以证明简单的谐波运动是最简单，最基本的振动，并且其他复杂的振动可以被视为由几种不同的简单谐波运动综合。

六：简单和和谐的运动的能量

简单谐波运动的机械能是保守的，机械能为e =ka²/2或e =mv₀²/2。

势能变化和动能的频率是系统固有频率的两倍。当系统执行简单的谐波运动时，动能和势能会不断地相互转化，但是总的机械能保持不变。简单的谐波运动系统的总能量与振幅的平方成正比。

七：简单和和谐的运动的旅程

1T之内的距离（一次完整振动）必须为4A； T/2内的距离必须为2A； T/4内的距离可能等于A，大于A或小于A。

示例：在重力和浮力的作用下，垂直垂直漂浮在河流表面上的木棒，垂直漂浮在河流表面，在垂直方向上执行简单的和谐运动，频率为1Hz；同时，木杆沿水平方向沿河水以恒定速度进行线性运动，如图（a）所示。

木棒接收的浮力F是垂直轴，木棒的水平位移x是建立矩形坐标系的水平轴。浮力F与水平位移X的变化如图（b）所示。众所周知，河水密度为ρ，木棒的横截面面积为s，重力加速度幅度为g。以下语句是正确的（ABD）

在AX从0.05m到0.15m的AX过程中，木棒的动能首先增加然后减小。

在BX从0.21m到0.25m的过程中，木杆的加速度方向垂直向下，尺寸逐渐变小。

当Cx = 0.35m且X = 0.45m时，木棒的速度相等且方向相反。

D.在垂直方向上进行简单谐波运动的木杆的振幅为（f₁-f₂）2ρsg

E.木棒的运动是一种机械横向波，在X轴的正方向上传播，波速为0.4m/s

示例：弹簧振动器使简单的谐波运动，o是平衡位置，当它通过点O时，它开始计数。0.4S之后，它首次达到点M，然后第二次达到点m ，然后弹簧振动器是（a）的周期

A. 23s

B. 1s

C. 53s

D. 2.4s